1939 Fragen zu Hoch Legiert

Um die Gleichung \(10^5 : 2^5 + 8^5 \times 3^5\) zu lösen, berechnen wir die einzelnen Teile: 1. \(10^5 = 100000\) 2. \(2^5 = 32\) 3. \(8^5 = 32768\) 4. \(3^5 = 243\) Jetzt setzen wir die Werte in die Gleichung ein: \[ 100000 : 32 + 32768 \times 243 \] Berechnen wir zuerst die Division: \[ 100000 : 32 = 3125 \] Jetzt die Multiplikation: \[ 32768 \times 243 = 7962624 \] Nun setzen wir alles zusammen: \[ 3125 + 7962624 = 7965749 \] Das Ergebnis der Gleichung ist also: \[ \boxed{7965749} \]

Von hochlegierten Stählen spricht man, wenn der Gesamtgehalt der Legierungselemente mehr als 5 % beträgt. Diese Stähle enthalten in der Regel eine Vielzahl von Legierungselement wie Chrom, Nickel, Molybdän, Vanadium und andere, die ihre Eigenschaften wie Korrosionsbeständigkeit, Härte und Festigkeit verbessern. Die Bezeichnung X6CrNiTi18-10 ist eine Werkstoffnummer nach der europäischen Norm EN 10027-1 und beschreibt die Zusammensetzung und Eigenschaften des Stahls: - **X**: Hochlegierter Stahl. - **6**: Kohlenstoffgehalt in Hundertsteln von Prozent, also 0,06 %. - **Cr**: Chrom. - **Ni**: Nickel. - **Ti**: Titan. - **18**: Chromgehalt in Prozent. - **10**: Nickelgehalt in Prozent. Dieser Stahl ist ein nichtrostender Edelstahl, der häufig in der chemischen Industrie, im Maschinenbau und in der Lebensmittelindustrie verwendet wird.

Um den Ausdruck \(10^6 \cdot 3^3 \cdot 10^{-3}\) zu vereinfachen, kannst du die Potenzgesetze für gleiche Basen anwenden. Zuerst kombinierst du die Terme mit der Basis 10: \[ 10^6 \cdot 10^{-3} = 10^{6 + (-3)} = 10^{3} \] Der Ausdruck wird also zu: \[ 10^3 \cdot 3^3 \] Jetzt kannst du die Potenzen berechnen: \[ 10^3 = 1000 \quad \text{und} \quad 3^3 = 27 \] Somit ergibt sich: \[ 1000 \cdot 27 = 27000 \] Der vereinfachte Ausdruck ist also \(27000\).

Um den Ausdruck \( \frac{25^7 \cdot 4^7}{100^} \) zu vereinfachen, können wir die Potenzgesetze anwenden. Zuerst schreiben wir \( 100 \) als \( 10^2 \): \[ 100^3 = (10^2)^3 = 10^{2 \cdot 3} = 10^6 \] Nun können wir \( 25 \) und \( 4 \) ebenfalls umschreiben: \[ 25 = 5^2 \quad \text{und} \quad 4 = 2^2 \] Daher gilt: \[ 25^7 = (5^2)^7 = 5^{2 \cdot 7} = 5^{14} \] \[ 4^7 = (2^2)^7 = 2^{2 \cdot 7} = 2^{14} \] Setzen wir das in den ursprünglichen Ausdruck ein: \[ \frac{25^7 \cdot 4^7}{100^3} = \frac{5^{14} \cdot 2^{14}}{10^6} \] Da \( 10 = 2 \cdot 5 \), können wir \( 10^6 \) als \( (2 \cdot 5)^6 = 2^6 \cdot 5^6 \) schreiben. Damit wird der Ausdruck: \[ \frac{5^{14} \cdot 2^{14}}{2^6 \cdot 5^6} \] Jetzt können wir die Potenzen mit der gleichen Basis subtrahieren: \[ = 5^{14-6} \cdot 2^{14-6} = 5^8 \cdot 2^8 \] Das Ergebnis kann auch als: \[ (5 \cdot 2)^8 = 10^8 \] Zusammenfassend ist die vereinfachte Form des Ausdrucks: \[ 10^8 \]

Um den Ausdruck \(3^{-1} \cdot 2^{-1} \cdot 6^{2}\) zu berechnen, gehen wir Schritt für Schritt vor: 1. Berechne \(3^{-1}\): \[ 3^{-1} = \frac{1}{3} \] 2. Berechne \(2^{-1}\): \[ 2^{-1} = \frac{1}{2} \] 3. Berechne \(6^{2}\): \[ 6^{2} = 36 \] Jetzt setzen wir alles zusammen: \[ 3^{-1} \cdot 2^{-1} \cdot 6^{2} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot 36 \] Zuerst multiplizieren wir \(\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}\): \[ \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{6} \] Jetzt multiplizieren wir \(\frac{1}{6} \cdot 36\): \[ \frac{1}{6} \cdot 36 = 6 \] Das Ergebnis ist also: \[ 6 \]

Nein, \((A \land B)^C\) ist im Allgemeinen nicht dasselbe wie \((A^C \land B^C)\). Die Gleichung \((A \land B)^C\) bedeutet, dass die gesamte Aussage \(A \land B\) (also sowohl \(A\) als auch \(B\) müssen wahr sein) dann hoch \(C\) genommen wird. Im Gegensatz dazu bedeutet \((A^C \land B^C)\), dass sowohl \(A\) als auch \(B\) jeweils hoch \(C\) genommen werden und dann das Ergebnis dieser beiden Aussagen verknüpft wird. In der Mathematik und Logik ist die Verknüpfung von Aussagen nicht immer distributiv, daher sind diese beiden Ausdrücke im Allgemeinen nicht gleich.

Um den Ausdruck \( x^3 + 2x^3 + 3x^3 + r \) zu vereinfachen, kannst du die Terme mit \( x^3 \) zusammenfassen: \[ x^3 + 2x^3 + 3x^3 = (1 + 2 + 3)x^3 = 6x^3 \] Somit wird der gesamte Ausdruck zu: \[ 6x^3 + r \]

Um die Aufgabe \((z^{-4} + 2z^{-2}) \cdot \frac{1}{2}z^3\) zu berechnen, gehen wir Schritt für Schritt vor. 1. **Zuerst die Terme in der Klammer betrachten:** \[ z^{-4} + 2z^{-2} \] 2. **Nun multiplizieren wir diesen Ausdruck mit \(\frac{1}{2}z^3\):** \[ (z^{-4} + 2z^{-2}) \cdot \frac{1}{2}z^3 \] 3. **Verteilen der Multiplikation:** \[ = z^{-4} \cdot \frac{1}{2}z^3 + 2z^{-2} \cdot \frac{1}{2}z^3 \] 4. **Berechnung der einzelnen Terme:** - Erster Term: \[ z^{-4} \cdot \frac{1}{2}z^3 = \frac{1}{2}z^{-4 + 3} = \frac{1}{2}z^{-1} \] - Zweiter Term: \[ 2z^{-2} \cdot \frac{1}{2}z^3 = z^{-2 + 3} = z^{1} \] 5. **Zusammenfassen der Ergebnisse:** \[ \frac{1}{2}z^{-1} + z^{1} \] 6. **Endergebnis:** \[ z^{1} + \frac{1}{2}z^{-1} \] Das ist das Endergebnis der Berechnung.

Die mathematische Ausdrucksformel \( z^m \cdot z^{2 - m} \) kann mithilfe der Potenzgesetze vereinfacht werden. Nach den Potenzgesetzen gilt: \[ z^a \cdot z^b = z^{a + b} \] In deinem Fall ist \( a = m \) und \( b = 2 - m \). Daher ergibt sich: \[ z^m \cdot z^{2 - m} = z^{m + (2 - m)} = z^2 \] Das Ergebnis ist also \( z^2 \).

Um den Ausdruck \(\frac{4,2^3}{0,7^3}\) zu berechnen, kannst du die Potenzen einzeln berechnen und dann das Ergebnis teilen. 1. Berechne \(4,2^3\): \[ 4,2^3 = 4,2 \times 4,2 \times 4,2 = 74,088 \] 2. Berechne \(0,7^3\): \[ 0,7^3 = 0,7 \times 0,7 \times 0,7 = 0,343 \] 3. Teile die beiden Ergebnisse: \[ \frac{74,088}{0,343} \approx 216 \] Das Ergebnis ist also ungefähr 216.

Ja, das ist korrekt. - Wenn du -1 hoch eine negative Potenz nimmst, ergibt das immer -1. Zum Beispiel: \((-1)^{-2} = \frac{1}{(-1)^2} = \frac{1}{1} = 1\), aber das Vorzeichen bleibt negativ, wenn die Potenz ungerade ist. - Wenn du -1 hoch eine positive Potenz nimmst, ergibt das immer 1, wenn die Potenz gerade ist, und -1, wenn die Potenz ungerade ist. Zum Beispiel: \((-1)^2 = 1\) und \((-1)^3 = -1\). Zusammengefasst: -1 hoch eine gerade positive Potenz ergibt 1, -1 hoch eine ungerade positive Potenz ergibt -1, und -1 hoch eine negative Potenz ergibt immer 1.

Um den Ausdruck \(6r^2 - r^2\) zu vereinfachen, kannst du die beiden Terme zusammenfassen. 1. Subtrahiere die Koeffizienten der \(r^2\)-Terme: \[ 6r^2 - r^2 = (6 - 1)r^2 = 5r^2 \] Der vereinfachte Ausdruck ist also \(5r^2\).

Um das Volumen der Scheune zu berechnen, müssen die Volumina der einzelnen Teile (der fünfeckigen Vorderseite und des dreieckigen Dachs) berechnet und dann multipliziert werden. 1. **Volumen des fünfeckigen Teils:** - Die Vorderseite ist ein Fünfeck mit einer Höhe von 3,7 m und einer Breite von 5 m. - Die Länge der Scheune beträgt 10 m. Das Volumen \( V_1 \) des fünfeckigen Teils kann berechnet werden, indem die Fläche der Vorderseite mit der Länge multipliziert wird. Da die genaue Form des Fünfecks nicht spezifiziert ist, nehmen wir an, dass es sich um ein regelmäßiges Fünfeck handelt. Die Fläche eines regelmäßigen Fünfecks kann mit der Formel berechnet werden: \[ A = \frac{5}{4} \times s^2 \times \cot\left(\frac{\pi}{5}\right) \] wobei \( s \) die Seitenlänge ist. Da die Höhe und Breite gegeben sind, kann die Fläche auch durch eine vereinfachte Annahme berechnet werden, wenn das Fünfeck in zwei Dreiecke und ein Rechteck zerlegt wird. Da dies nicht klar spezifiziert ist, wird eine vereinfachte Annahme verwendet: \[ A = \text{Höhe} \times \text{Breite} = 3,7 \, \text{m} \times 5 \, \text{m} = 18,5 \, \text{m}^2 \] Das Volumen \( V_1 \) ist dann: \[ V_1 = A \times \text{Länge} = 18,5 \, \text{m}^2 \times 10 \, \text{m} = 185 \, \text{m}^3 \] 2. **Volumen des dreieckigen Dachs:** - Das Dach ist ein Dreieck mit einer Höhe von 2 m und einer Breite von 5 m. - Die Länge der Scheune beträgt ebenfalls 10 m. Die Fläche des Dreiecks \( A_d \) ist: \[ A_d = \frac{1}{2} \times \text{Breite} \times \text{Höhe} = \frac{1}{2} \times 5 \, \text{m} \times 2 \, \text{m} = 5 \, \text{m}^2 \] Das Volumen \( V_2 \) des Dachs ist dann: \[ V_2 = A_d \times \text{Länge} = 5 \, \text{m}^2 \times 10 \, \text{m} = 50 \, \text{m}^3 \] 3. **Gesamtvolumen der Scheune:** \[ V_{\text{gesamt}} = V_1 + V_2 = 185 \, \text{m}^3 + 50 \, \text{m}^3 = 235 \, \text{m}^3 \] Das Gesamtvolumen der Scheune beträgt somit 235 Kubikmeter.

Um von \(10^{-14}\) auf \(10^{-15}\) zu kommen, musst du den Exponenten um 1 verringern. Das bedeutet, dass du den Wert um den Faktor 10 teilen musst. Mathematisch ausgedrückt: \[ 10^{-14} = \frac{10^{-14}}{10} = 10^{-15} \] Das ist der Prozess, um von \(10^{-14}\) auf \(10^{-15}\) zu gelangen.

Die Vereinfachung von \( x^3 + x^3 \) ergibt \( 2x^3 \).